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Vetorium — Geometria Analítica no R³

Calcule, visualize e
domine vetores em 3D

Uma plataforma completa para aprender e resolver geometria analítica — com calculadora interativa, visualização 3D em tempo real e resolução passo a passo de todas as operações vetoriais.

3D Visualização
10 Operações
+50 Exercícios
x y z A B

Funcionalidades

Calculadora Vetorial

Realize todas as operações com vetores no R³ — soma, subtração, produtos escalar, vetorial e misto, projeção, ângulos e muito mais.

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Visualizador 3D

Adicione vetores livremente e explore o espaço tridimensional com câmera interativa, eixos X Y Z, grade e labels.

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Módulos de Aprendizado

Estude vetores, produtos, retas, planos e distâncias com teoria clara, exemplos ilustrados e progresso rastreado.

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Exercícios Resolvidos

Pratique com problemas de dificuldade variada — fácil, médio e difícil — com enunciado completo e resolução guiada.

Praticar →

Referência de Fórmulas

Todas as fórmulas essenciais organizadas por categoria — módulo, ângulo, produto vetorial, projeção e distâncias.

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Resolução Passo a Passo

Cada cálculo exibe a resolução detalhada, mostrando exatamente como cada componente é obtido em etapas numeradas.

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Operações disponíveis

$\vec{A}+\vec{B}$ — Soma
$\vec{A}-\vec{B}$ — Subtração
$\vec{A}\cdot\vec{B}$ — Produto Escalar
$\vec{A}\times\vec{B}$ — Produto Vetorial
$[\vec{A},\vec{B},\vec{W}]$ — Produto Misto
$\text{proj}_{\vec{B}}\vec{A}$ — Projeção
$|\vec{A}|$ — Módulo e Unitário
$\theta$ — Ângulo entre vetores
$\alpha\;\beta\;\gamma$ — Ângulos Diretores
M — Ponto Médio

Calculadora

Selecione a operação e configure os vetores

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Visualizador 3D Livre

Adicione vetores e explore o espaço tridimensional

Vetores
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Formulário de Geometria Analítica

Todas as fórmulas organizadas por tema

📐 MóduloVetores

Comprimento de um vetor no R³

$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

🎯 Vetor UnitárioVetores

Vetor de módulo 1 na mesma direção

$$\hat{u} = \dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$$

➕ Soma / SubtraçãoVetores

Operação componente a componente

$$\vec{u} \pm \vec{v} = (x_1 \pm x_2,\; y_1 \pm y_2,\; z_1 \pm z_2)$$

📍 Ponto MédioVetores

Ponto equidistante entre A e B

$$M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\; \dfrac{y_1+y_2}{2},\; \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$$

· Produto EscalarProdutos

Resultado é um escalar

$$\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$$

× Produto VetorialProdutos

Resultado é um vetor perpendicular a ambos

$$\vec{u}\times\vec{v} = \hat{\imath}(y_1z_2-z_1y_2) - \hat{\jmath}(x_1z_2-z_1x_2) + \hat{k}(x_1y_2-y_1x_2)$$

⬛ Produto MistoProdutos

Volume do paralelepípedo

$$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}$$
$$\text{Vol} = \left|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\right|$$

↗ ProjeçãoProdutos

Projeção ortogonal de v⃗ sobre u⃗

$$\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v} = \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{|\vec{u}|^2}\cdot\vec{u}$$

📐 Ângulo entre VetoresÂngulos

Ângulo formado entre dois vetores

$$\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \qquad \theta = \arccos\!\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right)$$

🧭 Ângulos DiretoresÂngulos

Ângulos com os eixos x, y, z

$$\alpha=\arccos\tfrac{x}{|\vec{v}|}\quad\beta=\arccos\tfrac{y}{|\vec{v}|}\quad\gamma=\arccos\tfrac{z}{|\vec{v}|}$$
$$\cos^2\!\alpha+\cos^2\!\beta+\cos^2\!\gamma=1$$

⟶ Equação da RetaRetas

Representações de uma reta no R³

$$\text{Vetorial: }P=A+t\vec{v}$$
$$\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$$

📐 Lei dos CossenosExtra

Relação entre lados e ângulos de um triângulo

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$
$$|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{v}|^2+|\vec{u}|^2-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}$$

Exercícios Resolvidos

Pratique com exercícios comentados passo a passo

Fácil

Módulo e Vetor Unitário

Calcule o módulo e o vetor unitário associado.

Dados: $\vec{v} = (3, 4, 0)$
Calcule $|\vec{v}|$ e $\hat{u}$
Fácil

Produto Escalar e Ângulo

Calcule o produto escalar e o ângulo entre os vetores.

$\vec{u}=(1,2,3)$   $\vec{v}=(4,-1,2)$
Calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}$ e o ângulo $\theta$
Médio

Produto Vetorial

Calcule o produto vetorial e a área do paralelogramo.

$\vec{u}=(2,1,0)$   $\vec{v}=(0,3,1)$
Calcule $\vec{u}\times\vec{v}$ e a área
Médio

Coplanaridade (Prod. Misto)

Verifique se os vetores são coplanares.

$\vec{u}=(2,-1,1)$   $\vec{v}=(1,0,-1)$   $\vec{w}=(2,-1,4)$
São coplanares?
Médio

Ângulos Diretores

Determine os ângulos diretores do vetor.

$\vec{v}=(1,-1,0)$
Calcule $\alpha, \beta, \gamma$
Difícil

Projeção e Decomposição

Encontre a projeção e decomposição ortogonal.

$\vec{v}=(2,3,4)$   $\vec{u}=(3,-3,0)$
Decomponha $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$
Difícil

Equação da Reta

Determine as equações da reta em R³.

$A=(2,3,-4)$   $\vec{v}=(1,-2,3)$
Eq. vetorial, paramétrica e simétrica
Difícil

Ângulo entre Retas

Calcule o ângulo de interseção entre retas.

$r_1\colon\vec{v}=(3,1,-1)$   $r_2\colon\vec{v}=(-2,1,3)$
Calcule $\theta$ entre $r_1$ e $r_2$
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Sobre o Vetorium

Uma plataforma completa para aprender, visualizar e praticar Geometria Analítica no R³, com calculadora interativa, visualizador 3D e formulário completo.

Funcionalidades

Calculadora Completa

10 operações com vetores: módulo, unitário, soma, escalar, vetorial, misto, projeção, ângulos e mais.

Visualizador 3D Interativo

Visualize vetores e resultados em tempo real no espaço tridimensional com órbita, zoom e pan.

Passo a Passo

Cada cálculo é explicado com passos detalhados para facilitar o aprendizado.

Formulário Completo

Todas as fórmulas de GA organizadas por tema para consulta rápida.

Conteúdo baseado nas notas do Prof. Jorge Formiga — Unibanig

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